Question

（2012•湘潭模拟）设A为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设∠ABF=θ．
（1）|AB|=

2

a2-b2

；
（2）若θ∈[

π

12

，

π

4

]，则该椭圆离心率的取值范围为

[

2

2

，

6

3

]

．

Answer 1

分析：（1）设A（x，y），B（-x，-y），F（c，0），由AF⊥BF，可得

FA

•

FB

=0，从而可得x²+y²=c²=a²-b²，|AB|=2|AO|，代入可求
（2）设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出

c

a

即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．

解答：解：（1）设A（x，y），B（-x，-y），F（c，0）

FA

=(x-c，y)，

FB

=(-x-c，-y)
∵AF⊥BF，
∴

FA

•

FB

=c²-x²-y²=0
∴x²+y²=c²=a²-b²
∴|AB|=2|AO|=2

x2+y2

=2

a2-b2

（2）∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a  …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα    …②
|BF|=2ccosα    …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴e=

c

a

=

1

sinα+cosα

=

1

2 sin(α+ π 4 )

∵a∈[

1

12

π，

1

4

π]
∴

1

3

π≤α+

1

4

π≤

1

2

π
∴

3

2

≤sin（α+

1

4

π  ）≤1
∴

2

2

≤e≤

6

3

故答案为：2

a2-b2

；[

2

2

，

6

3

]

点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用，向量的基本运算性质及三角函数的性质的综合应用，解题时要特别利用好椭圆的定义．