Question

如图所示，在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)中，A为椭圆左顶点，B为椭圆上顶点，F为椭圆右焦点．
（I）若△ABF为等腰三角形，且BF=2，求椭圆方程；
（II）若△ABF为钝角三角形，求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先由题意可知AB=

a2+b2

＞a，AF=a+c＞a，BF=a，因为△ABF为等腰三角形，得到

a2+b2

=a+c从而解得c=

3

-1最后根据a，b，c 的关系求得a，b的值，写出椭圆方程；（
（II）由题意可知，∠ABF为钝角，由余弦定理可知，(

a2+b2

)2+a2-(a+c)2＜0转化为：e²+e-1＞0，解之即可得到椭圆离心率取值范围．

解答：解：（I）由题意可知AB=

a2+b2

＞a，AF=a+c＞a，BF=a，
因为△ABF为等腰三角形，所以AB=AF，即

a2+b2

=a+c．（3分）
两边平方，得a²+b²=（a+c）²，整理得a²-2ac-2c²=0
因为a=BF=2，解得c=

3

-1，（6分）b2=a2-c2=2

3

，
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

2 3

=1．（8分）
（II）若△ABF为钝角三角形，由题意可知，∠ABF为钝角，（10分）
由余弦定理可知，(

a2+b2

)2+a2-(a+c)2＜0，（12分）
整理得，a²-ac-c²＜0，即e²+e-1＞0，
解得e＞

-1+ 5

2

或e＜

-1- 5

2

，（14分）
又因为0＜e＜1，所以椭圆离心率取值范围是

-1+ 5

2

＜e＜1．（16分）

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．解题的关键是通过挖掘题设信息找到a和c的关系．