摘要：10．过点P(2,1)作直线l交x轴.y轴的正半轴于A.B两点.O为原点．求: (1)当△AOB面积最小时的直线l的方程, (2)当|OA|+|OB|最小时.求l的方程, (3)当|PA|·|PB|最小时.求直线l的方程． 解答:(1)显然l的斜率是存在的. 设l的方程为+＝1. 依题意得设S＝ab. 由1＝+≥2＝2. ∴S≥4.当且仅当＝＝ 即时.S最小.此时l的方程为x+2y-4＝0. (2)设l的方程为y-1＝k(x-2). 则A(.0).B(0.1-2k)(k≠0.否则矛盾). 依题意∴k＜0. ∴|OA|+|OB|＝3--2k＝3+(-2k)+(-)≥3+2. 当且仅当k＝±.又k＜0.故当k＝-时等号成立. 此时l的方程为x+2y-2-2＝0. (3)设∠BAO＝α(0＜α＜).则|PA|＝.|PB|＝. ∴|PA|·|PB|＝. 当α＝时|PA|·|PB|最小.此时l的方程为x+y-3＝0.

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