Question

过点P(2,1)作直线l交x，y轴正半轴于A、B两点，当|PA|·|PB|取到最小值时，求直线l的方程.

Answer 1

解析：要求过一点的直线方程,常用的思路:（一）点斜式.设l的方程为y-1=k(x-2),分别求出A、B的坐标，再求|PA|与|PB|的长度，建立目标函数，求出最小值；（二）建立三角函数的目标函数.设∠BAO=θ(0＜θ＜),|PA|,|PB|可用θ表示，利用三角函数的性质求解；(三)用平面向量方法求解.设l在x，y轴上的截距为a、b，,而与共线且方向相同,建立λ与b的关系式,写出|AP|·|PB|的目标函数，再求最小值.

解法一:设直线y-1=k(x-2),?

当|PA|·|PB|取到最小值时

又∵l交x,y轴正半轴于A、B,∴k=-1.?

∴l:x+y-3=0.

解法二:设∠BAO=θ(0＜θ＜),?

当原式取最小值时，sin2θ=1,∴θ=

∴k=-1.∴l:x+y-3=0.