摘要：13．如图3.△ABC为正三角形.∠1=∠2=∠3.求∠BEC的度数.
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（1）已知：如图1，△ABC为正三角形，点M为BC边上任意一点，点N为CA边上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，试求∠BQM的度数．
（2）如果将（1）中的正三角形改为正方形ABCD（如图2），点M为BC上任意一点，点N为CD边上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，那么∠BQM等于多少度呢？说明理由．
（3）如果将（1）中的“正三角形”改为正五边形…正n边形（如图3），其余条件都不变，请你根据（1）、（2）的求解思路，将你推断的结论填入下表：（注：正多边形的各个角都相等）
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（2）如果将（1）中的正三角形改为正方形ABCD（如图2），点M为BC上任意一点，点N为CD边上任意一点，且BM=CN，BN与AM相交于Q点，那么∠BQM等于多少度呢？说明理由．
（3）如果将（1）中的“正三角形”改为正五边形…正n边形（如图3），其余条件都不变，请你根据（1）、（2）的求解思路，将你推断的结论填入下表：（注：正多边形的各个角都相等）
| 正多边形 | 正五边形 | … | 正n边形 |
| ∠BQM的度数 | … |
如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=
AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=
S，△D1E1F1的面积S1=
S．
（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=
AB时如图2，
①求证：△D2E2F2是等边三角形；
②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2= ；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′= ．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当Dn、En、Fn分别是等边△ABC三边上的点，ADn=BEn=CFn=
AB时，（n为正整数）△DnEnFn是 三角形；
若用S表示△ADnFn的面积Sn，则Sn= ；若用S表示△DnEnFn的面积Sn′，则S′n= ．
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（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=
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①求证：△D2E2F2是等边三角形；
②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2=
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当Dn、En、Fn分别是等边△ABC三边上的点，ADn=BEn=CFn=
| 1 |
| n+1 |
若用S表示△ADnFn的面积Sn，则Sn=
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如图，点P为正△ABC内一点，∠APB=125°，∠BPC=100°，则以AP，BP，CP为边长的三角形各内角的度数为
（2011•路北区一模）探究一：如图，正△ABC中，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连接AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．探究二：如图，若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，E为AB上任一点，△CDE为等腰三角形，DE=DC，且∠BAC=∠EDC，连接AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．
如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1，E1，F1分别是△ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=
AB，连接D1E1，E1F1，F1D1，可得△D1E1F1．
（1）用S表示△AD1F1的面积S1=
，△D1E1F1的面积S1′=
；
（2）当D2，E2，F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=
AB时，如图②，求△AD2F2的面积S2和△D2E2F2的面积S2′；
（3）按照上述思路探索下去，当Dn，En，Fn分别是等边△ABC三边上的点，且ADn=BEn=CFn=
AB
时（n为正整数），求△ADnFn的面积Sn，△DnEnFn的面积Sn′．
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（1）用S表示△AD1F1的面积S1=
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（2）当D2，E2，F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=
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（3）按照上述思路探索下去，当Dn，En，Fn分别是等边△ABC三边上的点，且ADn=BEn=CFn=
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时（n为正整数），求△ADnFn的面积Sn，△DnEnFn的面积Sn′．
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