Question

（2011•路北区一模）探究一：如图，正△ABC中，E为AB边上任一点，△CDE为正三角形，连接AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．
探究二：如图，若△ABC为任意等腰三角形，AB=AC，E为AB上任一点，△CDE为等腰三角形，DE=DC，且∠BAC=∠EDC，连接AD，猜想AD与BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：猜想AD与BC的位置关系为AD∥BC，欲证AD∥BC，可以根据正三角形，等腰三角形的性质，证明△ACD∽△BCE，再证明AD与BC的内错角相等，得出结论．

解答：解：（1）AD与BC的位置关系为AD∥BC；
∵△ABC和△DEC是正三角形，
∴△ABC∽△DEC，∠ACB=∠DCE=60°．
∴

AC

BC

=

DC

EC

，∠DCA=∠ECB．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠DAC=∠EBC=60°．
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．

（2）AD与BC的位置关系为AD∥BC；
∵△ABC和△DEC是等腰三角形
DE=DC，且∠BAC=∠EDC，
∴∠ACB=∠DCE．
∴

AC

BC

=

DC

EC

，∠DCA=∠ECB．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠DAC=∠EBC．
∴∠DAC=∠ACB．
∴AD∥BC．

点评：观察测量，然后进行推理证明，是数学知识发现的基本规律．本题考查了正三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定．注意证明方式相同．