摘要：若三棱锥的三个侧面两两垂直.且侧棱长均为.则其外接球的表面积是 . 典例剖析 例1 已知在多面体ABCDEFG中.AB.AC.AD两两互相垂直.平面ABC∥平面DEFG. 平面BEF∥平面ADGC.AB=AD=DG=2.AC=EF=1.则这个多面体的体积为 ?A.2 ?B.4 C.6 D.8 例2①已知过球面上三点A.B.C的截面到球心的距离等于球半径的一半.且AC=BC=6.AB=4.则球的半径等于 .球的表面积等于 54 . ②设球O的半径是1.A.B.C是球面上三点.已知A到B.C两点的球面距离都是.且二面角B-OA-C的大小为.则从A点沿球面经B.C两点再回到A点的最短距离是 ?A.? B. ? C. ? D. 例3①P.Q为斜三棱柱相对棱上的点.若AQ=PC1.则多面体B-ACPQ的体积是三棱柱体积的 ?A.? B.? C.? D. ②设A.B.C.D是球面上的四个点.且在同一平面内.AB=BC=CD=DA=3.球心到该平面的距离是球半径的一半.则球的体积是 ?A.? B.? C.? D. ③长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上.且AB=2.AD=.AA1=1.则顶点A.B间的球面距离是 ?A.? B. ? C. ? D. ④长方体ABCD-A1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上.其中AB∶AD∶AA1=1∶1∶.A.B两点的球面距离记为m.A.D1两点的球面距离记为n.则的值为 1:2 . 例4已知三棱锥P-ABC中.E.F分别是AC.AB的中点.△ABC.△PEF都是正三角形.PF⊥AB. (1)证明:PC⊥平面PAB, (2)求二面角P-AB-C的平面角的余弦值, (3)若点P.A.B.C在一个表面积为12的球面上.求△ABC的边长. (1)证明 连结CF.∵PE=EF =BC=AC.∴AP⊥PC. ∵CF⊥AB.PF⊥AB. CF∩PF=F. ∴AB⊥平面PCF. ∵PC平面PCF. ∴PC⊥AB. 又∵AP∩AB=A. ∴PC⊥平面PAB. (2)方法一 ∵AB⊥PF.AB⊥CF. ∴∠PFC为所求二面角的平面角. 设AB=a.则PF=EF=.CF=. ∴cos∠PFC=. 方法二 设P在平面ABC内的射影为O. ∵△PAF≌△PAE.∴△PAB≌△PAC. 得PA=PB=PC.于是O是△ABC的中心. ∴∠PFO为所求二面角的平面角. 设AB=a.则PF=.OF=·. ∴cos∠PFO=. (3)方法一 设PA=x.球半径为R. ∵PC⊥平面PAB.PA⊥PB.∴=2R. ∵=.∴R=.得x=2. ∴△ABC的边长为. 方法二延长PO交球面于D.则PD是球的直径.连结OA.AD.得△PAD为直角三角形.设AB=x.球半径为R. ∵=.∴PD=. ∵PO=OFtan∠PFO=.OA=. ∴.于是x=2. ∴△ABC的边长为2. 例4如图.三个12×12 cm的正方形.都被连结相邻两边中点的直线分成A.B两片.把6片粘在一个正六边形的外面.然后折成多面体.求此多面体的体积. 解法一: 补成一个正方体.如图甲.V=V正方体­=×123=864 cm3. 甲 乙 解法二:补成一个三棱锥.如图乙.V=V大三棱锥-3V小三棱锥=864 cm3. 解法三:如图(3)7设C是所在棱的中点.截面CDE把几何体截成两部分.沿DE把上部分翻转过来可拼成正方体的下一半. 例5已知球的半径为.在球内作一个内接圆柱.这个圆柱底面半径与高为何值时.它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?

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