若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”.

（Ⅰ）若数列的通项为，证明：数列为“数列”；

（Ⅱ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，；

（Ⅲ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在，数列为等差数列.

（13分）设无穷数列满足关系：

   （1）求；

   （2）若，求证：数列是等比数列；

（本题满分50分）已知无穷数列满足，, .

1）对于怎样的实数与，总存在正整数，使当时恒为常数？

已知函数，无穷数列满足a_n+1=f(a_n),n∈N^*

（1）若a₁=0，求a₂，a₃，a₄；

（2）若a₁＞0，且a₁，a₂，a₃成等比数列，求a₁的值.

（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n…成等差数列？若存在，求出所有这样的a₁；若不存在，说明理由.

,构造一个数列发生器，其工作原理如下：

输入数据,经数列发生器输出，若,则数列发生器结束工作，

若,则将反馈回输入端，再输出并依此规律继续下去，若输入时，产生的无穷数列满足，对任意正整数均有，求范围