（2011•江西模拟）已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域；
（2）是否存在实数a，对任意给定的x₀∈（0，e]，在区间[1，e]上都存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=g（x₀）成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）给出如下定义：对于函数y=F（x）图象上任意不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果对于函数y=F（x）图象上的点M（x₀，y₀）（其中x0=

x1+x2

2

)总能使得F（x₁）-F（x₂）=F'（x₀）（x₁-x₂）成立，则称函数具备性质“L”，试判断函数f（x）是不是具备性质“L”，并说明理由．

某同学用《几何画板》研究椭圆的性质：打开《几何画板》软件，绘制某椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，在椭圆上任意画一个点S，度量点S的坐标（x_s，y_s），如图1．
（1）拖动点S，发现当x_s=

2

时，y_s=0；当x_s=0时，y_s=1，试求椭圆C₁的方程；
（2）该同学知圆具有性质：若E为圆O：x²+y²=r²（r＞0）的弦AB的中点，则直线AB的斜率k_AB与直线OE的斜率k_OE的乘积k_AB•k_OE为定值．该同学在椭圆上构造两个不同的点A、B，并构造直线AB，再构造AB的中点E，经观察得：沿着椭圆C₁，无论怎样拖动点A、B，椭圆也具有此性质．类比圆的这个性质，请写出椭圆C₁的类似性质，并加以证明；
（3）拖动点A、B的过程中，如图2发现当点A与点B在C₁在第一象限中的同一点时，直线AB刚好为C₁的切线l，若l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值．

（2013•青浦区一模）设直线L₁：y=k₁x+p，p≠0交椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）于C、D两点，交直线L₂：y=k₂x于点E．
（1）若E为CD的中点，求证：k1•k2=-

b2

a2

；
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．

设直线L₁：y=k₁x+p，p≠0交椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）于C、D两点，交直线L₂：y=k₂x于点E．
（1）若E为CD的中点，求证：k1•k2=-

b2

a2

；
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．