题目内容
设直线L1：y=k1x+p，p≠0交椭圆Γ：
+
=1（a＞b＞0）于C、D两点，交直线L2：y=k2x于点E．
（1）若E为CD的中点，求证：k1•k2=-
；
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）若E为CD的中点，求证：k1•k2=-
| b2 |
| a2 |
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．
（1）证明：设C（x1，y1）D（x2，y2）E（x0，y0），则
+
=1 (1)，
+
=1 (2)
两式相减得
+
=0
即
+
=0…（3分）
∴k1=
=
=-
∴k1•k2=-
…（7分）
（2）逆命题：设直线L1：y=k1x+p交椭圆Γ：
+
=1 (a＞b＞0)于C、D两点，交直线L2：y=k2x于点E．若k1•k2=-
，则E为CD的中点．…（9分）
证法一：由方程组
?(b2+a2
)x2+2k1pa2x+a2p2-a2b2=0…（10分）
因为直线L1：y=k1x+p交椭圆C、D于C、D两点，
所以△＞0，即a2
+b2-p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2）、E（x0，y0）
则∴x0=
=
，y0=
=
…（12分）
?
又因为k1•k2=-
，所以
，故E为CD的中点．…（14分）
证法二：设C（x1，y1）D（x2，y2）E（x0，y0）
则
+
=1 (1)，
+
=1 (2)
两式相减得
+
=0
即k1=
=
…（9分）
又∵k1•k2=-
，k2=
，
=
即
=
…（12分）∴k1+
=k1+
得x1+x2=2x0∴y1+y2=2y0，即E为CD的中点．…（14分）
（3）设直线L1：y=k1x+p，p≠0交双曲线Γ：
-
=1 (a＞0 ，b＞0)于C、D两点，交直线L2：y=k2x于点E．
则E为CD中点的充要条件是k1•k2=
．…（16分）
| x12 |
| a2 |
| y12 |
| b2 |
| x22 |
| a2 |
| y22 |
| b2 |
两式相减得
| (x1-x2)(x1+x2) |
| a2 |
| (y1-y2)(y1+y2) |
| b2 |
即
| 2x0(x1-x2) |
| a2 |
| 2y0(y1-y2) |
| b2 |
∴k1=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| -b2•x0 |
| a2•y0 |
| b2 |
| a2•k2 |
∴k1•k2=-
| b2 |
| a2 |
（2）逆命题：设直线L1：y=k1x+p交椭圆Γ：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| b2 |
| a2 |
证法一：由方程组
|
| k | 21 |
因为直线L1：y=k1x+p交椭圆C、D于C、D两点，
所以△＞0，即a2
| k | 21 |
则∴x0=
| x1+x2 |
| 2 |
| -k1pa2 | ||
b2+a2
|
| y1+y2 |
| 2 |
| pb2 | ||
b2+a2
|
|
|
又因为k1•k2=-
| b2 |
| a2 |
|
证法二：设C（x1，y1）D（x2，y2）E（x0，y0）
则
| x12 |
| a2 |
| y12 |
| b2 |
| x22 |
| a2 |
| y22 |
| b2 |
两式相减得
| (x1-x2)(x1+x2) |
| a2 |
| (y1-y2)(y1+y2) |
| b2 |
即k1=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| -b2•(x1+x2) |
| a2•(y1+y2) |
又∵k1•k2=-
| b2 |
| a2 |
| y0 |
| x0 |
| y1+y2 |
| x1+x2 |
| x0 |
| y0 |
| k1x1+p+k2x2+p |
| x1+x2 |
| kx0+p |
| x0 |
| 2p |
| x1+x2 |
| p |
| x0 |
得x1+x2=2x0∴y1+y2=2y0，即E为CD的中点．…（14分）
（3）设直线L1：y=k1x+p，p≠0交双曲线Γ：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
则E为CD中点的充要条件是k1•k2=
| b2 |
| a2 |
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