Question

（2013•青浦区一模）设直线L₁：y=k₁x+p，p≠0交椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）于C、D两点，交直线L₂：y=k₂x于点E．
（1）若E为CD的中点，求证：k1•k2=-

b2

a2

；
（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；
（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类似性质的结论（不必证明）．

Answer 1

分析：（1）设点作差，利用点差法，结合E为CD的中点，即可证明结论；
（2）写出逆命题，证法一，直线方程与椭圆方程联立，利用条件及中点坐标公式，即可得到结论；证法二，利用点差法证明；
（3）利用类比的方法，即可得到结论．

解答：（1）证明：设C（x₁，y₁）D（x₂，y₂）E（x₀，y₀），则

x12

a2

+

y12

b2

=1 (1)，

x22

a2

+

y22

b2

=1 (2)
两式相减得

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0
即

2x0(x1-x2)

a2

+

2y0(y1-y2)

b2

=0…（3分）
∴k1=

y1-y2

x1-x2

=

-b2•x0

a2•y0

=-

b2

a2•k2

∴k1•k2=-

b2

a2

…（7分）
（2）解：逆命题：设直线L₁：y=k₁x+p交椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)于C、D两点，交直线L₂：y=k₂x于点E．若k1•k2=-

b2

a2

，则E为CD的中点．…（9分）
证法一：由方程组

y=k1x+p x2 a2 + y2 b2 =1

⇒(b2+a2

k

2 1

)x2+2k1pa2x+a2p2-a2b2=0…（10分）
因为直线L₁：y=k₁x+p交椭圆C、D于C、D两点，
所以△＞0，即a2

k

2 1

+b2-p2＞0，设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）、E（x₀，y₀）
则∴x0=

x1+x2

2

=

-k1pa2

b2+a2 k 2 1

，y0=

y1+y2

2

=

pb2

b2+a2 k 2 1

…（12分）

y=k1x+p y=k2x

⇒

x= p k2-k1 y=k2x

又因为k1•k2=-

b2

a2

，所以

x= p k2-k1 = -a2k1p b2+a2 k 2 1 =x0 y=k2x= b2p b2+a2 k 2 1 =y0

，故E为CD的中点．…（14分）
证法二：设C（x₁，y₁）D（x₂，y₂）E（x₀，y₀）
则

x12

a2

+

y12

b2

=1 (1)，

x22

a2

+

y22

b2

=1 (2)
两式相减得

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0
即k1=

y1-y2

x1-x2

=

-b2•(x1+x2)

a2•(y1+y2)

…（9分）
又∵k1•k2=-

b2

a2

 ，k2=

y0

x0

，

y1+y2

x1+x2

=

x0

y0

即

k1x1+p+k2x2+p

x1+x2

=

kx0+p

x0

…（12分）∴k1+

2p

x1+x2

=k1+

p

x0

得x₁+x₂=2x₀∴y₁+y₂=2y₀，即E为CD的中点．…（14分）
（3）解：设直线L₁：y=k₁x+p，p≠0交双曲线Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0 ，b＞0)于C、D两点，交直线L₂：y=k₂x于点E．
则E为CD中点的充要条件是k1•k2=

b2

a2

．…（16分）

点评：本题考查直线与椭圆、双曲线的位置关系，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用点差法是关键．