题目内容

某同学用《几何画板》研究椭圆的性质：打开《几何画板》软件，绘制某椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1，在椭圆上任意画一个点S，度量点S的坐标（xs，ys），如图1．
（1）拖动点S，发现当xs=
2
时，ys=0；当xs=0时，ys=1，试求椭圆C1的方程；
（2）该同学知圆具有性质：若E为圆O：x2+y2=r2（r＞0）的弦AB的中点，则直线AB的斜率kAB与直线OE的斜率kOE的乘积kAB•kOE为定值．该同学在椭圆上构造两个不同的点A、B，并构造直线AB，再构造AB的中点E，经观察得：沿着椭圆C1，无论怎样拖动点A、B，椭圆也具有此性质．类比圆的这个性质，请写出椭圆C1的类似性质，并加以证明；
（3）拖动点A、B的过程中，如图2发现当点A与点B在C1在第一象限中的同一点时，直线AB刚好为C1的切线l，若l分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值．
分析：（1）由已知中当xs=
2
时，ys=0；当xs=0时，ys=1，求得a，b的值，进而得到椭圆的方程．
（2）证法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程后两式相减，可得结论；
证法2：联立直线AB：y=kx+b与椭圆C1：
x2
2
+y2=1的方程，用韦达定理可得结论；
（3）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率k，即k•kOB=-
1
2
，k=-
x2
2y2
，求出切线QB方程，进而可得三角形OCD面积的表达式，利用基本不等式可得答案．
解答：解：（1）∵当xs=
2
时，ys=0；当xs=0时，ys=1，
∴a=
2
，b=1
∴C1：
x2
2
+y2=1-------------------------------------------------------------（3分）
（2）若A，B为椭圆C1：
x2
2
+y2=1上相异的两点，E（x0，y0）为A，B中点，
当直线AB的斜率kAB与直线OE的斜率kOE的乘积kOE•kAB必为定值；-----------（5分）
证法1：设A（x1，y1），B（x2，y2），则
x12
2
+y12=1--(1)
x22
2
+y22=1--(2)

（2）-（1）得：
(x2+x1)(x2-x1)
2
+(y2+y1)(y2-y1)=0，
∵仅考虑斜率存在的情况
∴x0+2y0•kAB=0?kOE•kAB=-
1
2
---------------（9分）
证法2：设AB：y=kx+b与椭圆C1：
x2
2
+y2=1联立得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2-2=0，x1+x2=-
4kb
1+2k2

所以x0=-
2kb
1+2k2
⇒y0=
b
1+2k2
⇒kOE=
y0
x0
=-
1
2k
⇒kOE•kAB=-
1
2
-----（9分）
（3）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率k，
即k•kOB=-
1
2
，k=-
x2
2y2

所以点B处的切线QB：y-y2=-
x2
2y2
(x-x2)?
x2
2
x+y2y=1
令x=0，yD=
1
y2
，令y=0，xC=
2
x2
，
所以S△OCD=
1
x2•y2

又点B在椭圆的第一象限上，所以x2＞0，y2＞0，
x22
2
+y22=1
∴1=
x22
2
+y22≥2
x22
2
y22
=
2
x2y2
∴S△OCD=
1
x2•y2
≥
2
，当且仅当
x22
2
=y22?x2=
2
y2=1
所以当B(1，
2
2
)时，三角形OCD的面积的最小值为
2
（没写等号成立扣1分）---（14分）
点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，基本不等式，是一个综合性强，运算量大的解析几何综合题，难度较大．
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（Ⅰ）拖动点，发现当时，，试求抛物线的方程；

（Ⅱ）设抛物线的顶点为，焦点为，构造直线交抛物线于不同两点、，构造直线、分别交准线于、两点，构造直线、．经观察得：沿着抛物线，无论怎样拖动点，恒有.请你证明这一结论．

（Ⅲ）为进一步研究该抛物线的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点”改变为其它“定点”，其余条件不变，发现“与不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．

 

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