题目内容
已知y=f(x)满足f(－x)=－f(x),它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0,试问F(x)=
在(－∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.
解:任取x1、x2∈(－∞,0)且x1<x2,则有－x1>－x2>0.
∵y=f(x)在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0,
∴f(－x2)<f(－x1)<0.
又∵f(x)满足f(－x)=－f(x),
∴f(－x2)=－f(x2),f(－x1)=－f(x1).
∴f(x2)>f(x1)>0.
于是F(x1)－F(x2)=－
=
>0,即F(x1)>F(x2).
∴F(x)=
在(－∞,0)上是减函数.
点评:本例易发生的错误是在(0，+∞)由任取x1<x2展开证明，这样就不能保证－x1、－x2在(－∞,0)内的任意性而导致错误.
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