Question

已知y=f(x)满足f(n-1)=f(n)-lga^n-1(n≥2,n∈N)且f(1)=-lga,是否存在实数α、β使f(n)=(αn²+βn-1)lga对任何n∈N^*都成立?证明你的结论.

Answer 1

解:∵f(n)=f(n-1)+lga^n-1,令n=2,则f(2)=f(1)+f(a)=-lga+lga=0.

    又f(1)=-lga,∴

    ∴

    ∴f(n)=(n²-n-1)lga.

    证明:(1)当n=1时,显然成立.

     (2)假设n=k时成立,即f(k)=(k²-k-1)lga,

    则n=k+1时,f(k+1)=f(k)+lga^k=f(k)+klga=(k²-k-1+k)lga=［(k+1)²- (k+1)-1］lga.

    ∴当n=k+1时,等式成立.

    综合(1)(2)可知,存在实数α、β且α=,β=-,使f(n)=(αn²+βn-1)lga对任意n∈N^*都成立.