摘要：21． 已知数列中..且． (Ⅰ) 求数列的通项公式, (Ⅱ) 令.数列的前项和为.试比较与的大小, (Ⅲ) 令.数列的前项和为．求证:对任意. 都有 ． 21解:(Ⅰ)由题知. . 由累加法.当时. 代入.得时. 又.故． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (II)时.． 方法1:当时.,当时., 当时.． 猜想当时.． ．．．．．．．．．．．．．．．．6分 下面用数学归纳法证明: ①当时.由上可知成立, ②假设时.上式成立.即. 当时.左边 .所以当时成立． 由①②可知当时,． 综上所述:当时,,当时, , 当时,． ．．．．．．．．．．．．．．．10分 方法2: 记函数 所以 ．．．．．．．．．6分 则 所以． 由于.此时, .此时, .此时, 由于..故时..此时． 综上所述:当时.,当时,． ．．．．．．．．．．．10分 (III) 当时. 所以当时 +． 且 故对.得证． ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分

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