已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B两点，O为坐标原点，M为AB的中点．
（I）求证：直线AB与OM斜率的乘积等于e²-1（e为椭圆的离心率）；
（II）若2|

OM

|=|

AB

|且e∈(0，

2

2

)时，求a的取值范围．

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，求线段AB的长；
（2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F₁，求△ABF₁的面积．

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量

OA

与向量

OB

互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[

1

2

，

2

2

]时，求椭圆的长轴长的最大值．