Question

已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，M为AB的中点．
（I）求证：直线AB与OM斜率的乘积等于e²-1（e为椭圆的离心率）；
（II）若时，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（），由A、B在椭圆b²x²+a²y²=a²b²上，得，两式相减，得，由此能够证明直线AB与OM斜率的乘积等于e²-1．
（Ⅱ）连接OA，OB，当2||=时，得，故x₁x₂+y₁y₂=0，由，得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，由相交，得△=（-2a²）²-4a²（1-b²）（a²+b²）＞0，再由韦达定理结合题设条件能够求出a的取值范围．
解答：（I）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（），
∵A、B在椭圆b²x²+a²y²=a²b²上，
故有，
两式相减，得，
∴
=-=-=e²-1．
（Ⅱ）解：连接OA，OB，当2||=时，得，
∴（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
由，
得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
由相交，应有△=（-2a²）²-4a²（1-b²）（a²+b²）＞0，
化简为a²+b²＞1，
由韦达定理：，，
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）
=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=
=，
∴a²-2a²b²+b²=0，
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式，有
a²-2a²（a²-a²e²）+a²-a²e²=0，
∴，
∵，∴1＜，适合条件a²+b²＞1，
由此，得．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，具体涉及到椭圆的简单性质、点差法的应用、根的判别式和韦达定理的运用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．