Question

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，求线段AB的长；
（2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F₁，求△ABF₁的面积．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，建立方程，求得几何量，从而可得椭圆方程，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，可求线段AB的长；
（2）求出点F₁到直线AB的距离，即可求△ABF₁的面积．

解答：解：（1）∵椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，
∴

c

a

=

3

3

，2c=2
∴c=1，a=

3

∴b=

a2-c2

=

2

，
∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
直线y=-x+1与椭圆方程联立，消去y可得：5x²-6x-3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

6

5

，x₁x₂=-

3

5

∴|AB|=

1+1

|x₁-x₂|=

2

×

( 6 5 )2+ 12 5

=

8 3

5

；
（2）由（1）可知椭圆的左焦点坐标为F₁（-1，0），直线AB的方程为x+y-1=0，
所以点F₁到直线AB的距离d=

|-1-0-1|

2

=

2

，
又|AB|=

8 3

5

，
∴△ABF₁的面积S=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

8 3

5

×

2

=

4 6

5

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．