Question

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)相交于A、B两点，O为坐标原点，M为AB的中点．
（I）求证：直线AB与OM斜率的乘积等于e²-1（e为椭圆的离心率）；
（II）若2|

OM

|=|

AB

|且e∈(0，

2

2

)时，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），由A、B在椭圆b²x²+a²y²=a²b²上，得

b2x12+a2y12=a2b2 b2x22+a2y22=a2b2

，两式相减，得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0，由此能够证明直线AB与OM斜率的乘积等于e²-1．
（Ⅱ）连接OA，OB，当2|

OM

|=|

AB

|时，得

OA

⊥

OB

，故x₁x₂+y₁y₂=0，由

y=-x+1 b2x 2+a2y2=a2b2

，得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，由相交，得△=（-2a²）²-4a²（1-b²）（a²+b²）＞0，再由韦达定理结合题设条件能够求出a的取值范围．

解答：（I）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），
∵A、B在椭圆b²x²+a²y²=a²b²上，
故有

b2x12+a2y12=a2b2 b2x22+a2y22=a2b2

，
两式相减，得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0，
∴kAB•kOM=

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2 2

x1+x2 2

=-

b2

a2

=-

a2-c2

a2

=e²-1．
（Ⅱ）解：连接OA，OB，当2|

OM

|=|

AB

|时，得

OA

⊥

OB

，
∴（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
由

y=-x+1 b2x 2+a2y2=a2b2

，
得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
由相交，应有△=（-2a²）²-4a²（1-b²）（a²+b²）＞0，
化简为a²+b²＞1，
由韦达定理：x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

，
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）
=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-

2a2

a2+b2

+

a2-a2b2

a2+b2

=

b2(1-a2)

a2+b2

，
∴a²-2a²b²+b²=0，
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式，有
a²-2a²（a²-a²e²）+a²-a²e²=0，
∴a2=

1

2

(1+

1

1-e2

)，
∵0＜e＜

2

2

，∴1＜a2＜

3

2

，适合条件a²+b²＞1，
由此，得1＜a＜

6

2

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，具体涉及到椭圆的简单性质、点差法的应用、根的判别式和韦达定理的运用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．