Question

已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点，而且与x轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点(-

3

2

，

6

)，求抛物线和双曲线的方程．

Answer 1

分析：根据题中的点在抛物线上，列式解出抛物线方程为y²=-2x，从而算出双曲线右焦点坐标为（1，0），可得c²=a²+b²=1．再由点(-

3

2

，

6

)在双曲线上建立关于a、b的方程，联解得到a、b的值，即可得到双曲线的方程．

解答：解：由题意，设抛物线方程为y²=-2px（p＞0）
∵抛物线图象过点(-

3

2

，

6

)，∴6=-2p×(-

3

2

)，解之得p=2．
所以抛物线方程为y²=-4x，准线方程为x=1．
∵双曲线的右焦点经过抛物线的准线，∴双曲线右焦点坐标为（1，0），c=1
∵双曲线经过点(-

3

2

，

6

)，∴

9 4

a2

-

6

b2

=1
结合c²=a²+b²=1，联解得a2=

1

4

，b2=

3

4

或a²=9，b²=-8（舍去）
∴双曲线方程为

x2

1 4

-

y2

3 4

=1．
综上所述，抛物线方程为y²=-4x，双曲线方程为

x2

1 4

-

y2

3 4

=1．

点评：本题给出双曲线与抛物线交于定点，已知双曲线的右焦点在抛物线的准线上，求抛物线与双曲线的方程．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．