摘要：三角形的“四心 定理的平面向量表达式及其证明 ①是的重心(其中是三边) 证明:充分性是的重心 若.则.以.为邻边作平行四边形.设与交于点.则为的中点.有.得.即四点共线.故为的中线.同理.亦为的中线.所以.为的重心. 必要性:是的重心 如图.延长交于.则为的中点.由重心的性质得. ∵∴ ②点是的垂心 证明:是的垂心, 同理 故当且仅当. ③点是的外心． 证明:O是△ABC的外心||=||=||(或2=2=2)(点O到三边距离相等) (+)·=(+)·=(+)·=0(O为三边垂直平分线的交点) ④是的内心.(其中是三边) 证明:充分性: 是的内心 = 所以.而.分别是.方向上的单位向量.所以向量平分.即平分.同理平分.得到点是的内心. 必要性:是的内心 若点O为的内心.延长交于.由三角形内角平分线的性质定理.有.于是 再由.有代入前式中便得. 必要性证法二:设O是内任一点.以O为坐标原点.OA所在直线为x轴.建立直角坐标系.并设 显然不共线.由平面向量基本定理.可设则 (ⅰ)若O是的内心.则 故 必要性得证．同时还可得到以下结论 (ⅱ)若O是的重心.则 故 (ⅲ)若O是的外心 则 故 (ⅳ)若O是的垂心. 则 故 证明:同理 因此只需证 先证第一个等式 (E .C.D.O四点共圆,为的补角,E .O.F.A四点共圆,为的补角)所以上式成立.即第一个等式成立.同理可证:该连等式成立.原题得证. 评注:一箭四雕.需要提醒的是.这里只探求了三角形内心向量形式的必要条件.充分性并未证明.

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