Question

 如图，给定两个长度为1的平面向量

OA

和

OB

，它们的夹角为

2π

3

，点C是以O为圆心的圆弧

AB

上的一个动点，且

OC

=x

OA

+y

OB

（x，y∈

.

R-

）
（Ⅰ）设∠AOC=θ，写出x，y关于θ的函数解析式并求定义域；
（Ⅱ）求x+y的取值范围．

Answer 1

分析：（I）以OC为对角线，作出如图所示平行四边形ODCE，由

OC

=x

OA

+y

OB

利用向量加法的平行四边形法则，可得|

OD

|=x，|

OE

|=|

CD

|=y．然后在△OCD中利用正弦定理加以计算，可得x、y关于θ的函数解析式及其定义域；
（II）由（I）中求出x、y关于θ的函数解析式算出x+y关于θ的解析式，利用三角恒等变换公式化简可得x+y=2sin（θ+

π

6

），再根据θ的取值范围利用正弦函数的图象与性质，可得x+y的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）过点C作OA、OB的平行线，分别交OA、OB或它们的延长线于点D、E，
则四边形ODCE是平行四边形，可得

OC

=

OD

+

OE

，
∵由题意知

OC

=x

OA

+y

OB

，∴x

OA

=

OD

，y

OB

=

OE

．
又∵|

OA

|=|

OB

|=1，∴|

OD

|=x，|

OE

|=|

CD

|=y．
在△ODC中，∠D=π-∠AOB=

π

3

，
根据正弦定理可得：

OC

sin∠D

=

CD

sin∠COD

=

OD

sin∠OCD

，
即

1

sin π 3

=

y

sinθ

=

x

sin( 2π 3 -θ)

∴x=

2 3

3

sin（

2π

3

-θ），y=

2 3

3

sinθ，它们的定义域为[0，

2π

3

]；
（Ⅱ）由（I）可得x+y=

2 3

3

sin（

2π

3

-θ）+

2 3

3

sinθ．
=

2 3

3

[sin（

2π

3

-θ）+sinθ]=

2 3

3

（sin

2π

3

cosθ-cos

2π

3

sinθ+sinθ）
=2（sinθcos

π

6

+cosθsin

π

6

）=2sin（θ+

π

6

）
∵θ+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，可得sin（θ+

π

6

）∈[

1

2

，1]．
∴x+y的取值范围是[1，2]．

点评：本题着重考查了向量的线性运算法则、正弦定理及其应用、三角恒等变换与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．