Question

给定两个长度为1的平面向量

OA

和

OB

，它们的夹角为120°．
（1）求|

OA

+

OB

|；
（2）如图所示，点C在以O为圆心的圆弧

AB

上变动．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，求x+y的最大值？

Answer 1

分析：（1）由已知中两个长度为1的平面向量

OA

和

OB

，它们的夹角为120°．我们可得

OA

²=

OB

²=1，

OA

•

OB

=-

1

2

，进而将|

OA

+

OB

|化为

OA 2+ OB 2+2 OA • OB

的形式，代入即可得到答案．
（2）由已知中C在以O为圆心的圆弧

AB

上变动．我们可设C（cosθ，sinθ），结合

OC

=x

OA

+y

OB

，我们易求出x，y（均含参数θ），进而得到x+y的表达式，根据正弦型函数的性质，易求出x+y的最大值．

解答：解：（1）∵平面向量

OA

和

OB

的两个长度为1，它们的夹角为120°．
∴

OA

²=

OB

²=1，

OA

•

OB

=-

1

2

|

OA

+

OB

|=

( OA + OB )2

=

OA 2+ OB 2+2 OA • OB

=1（4分）
（2）如图所示，建立直角坐标系，则A（1，0），B（-

1

2

，

3

2

），C（cosθ，sinθ）．
由

OC

=x

OA

+y

OB

，得cosθ=x-

y

2

，sinθ=

3

2

y．
即x=cosθ+

3

3

sinθ，y=

2 3

3

sinθ．
则x+y=

3

sinθ+cosθ=2sin（θ+

π

6

）
又θ∈[0，

2π

3

]，则θ+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，
故当θ=

π

3

时，x+y的最大值是2．…（14分）

点评：本题考查的知识点是向量的数量积，向量的模，三角函数的最值，是平面向量与三角函数的综合应用，其中（1）的关键是将|

OA

+

OB

|化为

OA 2+ OB 2+2 OA • OB

的形式，（2）的关键是求出x+y=2sin（θ+

π

6

），将问题转化为三角函数的最值问题．