摘要：三角形的“四心 定理的平面几何证明 ①三角形三边的中垂线交于一点.这一点为三角形外接圆的圆心.称外心. 证明: 设AB.BC的中垂线交于点O. 则有OA=OB=OC. 故O也在AC的中垂线上.因为O到三顶点的距离相等. 故点O是ΔABC外接圆的圆心． 因而称为外心． ②三角形三边上的高交于一点.这一点叫三角形的垂心. 证明: AD.BE.CF为ΔABC三条高.过点A.B.C分别作对边的平行线.相交成ΔA′B′C′.AD为B′C′的中垂线,同理BE.CF也分别为 A′C′.A′B′的中垂线. 由外心定理.它们交于一点. 命题得证． ③三角形三边中线交于一点.这一点叫三角形的重心. ④三角形三内角平分线交于一点.这一点为三角形内切圆的圆心.称内心. 证明 : 设∠A.∠C的平分线相交于I, 过I作ID⊥BC.IE⊥AC. IF⊥AB.则有IE=IF=ID． 因此I也在∠C的平分线上.即三角形三内角平分线交于一点．
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如图，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N．（1）求证：CC1⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明． 查看习题详情和答案>>
在 DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EFcosDFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明．
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如图，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.
(1)求证：CC1⊥MN;
(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.
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如图,点P为斜三棱柱ABC—A1B1C 1的侧棱BB1上一点，PM⊥B1B交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.
(1)求证:CC1⊥MN；
(2)在任意△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2-2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.
查看习题详情和答案>>已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F， BP的延长线交AC于点E.
⑴求证：FA∥BE；
⑵求证：
【解析】本试题主要是考查了平面几何中圆与三角形的综合运用。
（1）要证明线线平行，主要是通过证明线线平行的判定定理得到
（2）利用三角形△APC∽△FAC相似，来得到线段成比列的结论。
证明：（1）在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O ∴OA=OF
∴∠OAF=∠F ∵∠B=∠F ∴∠OAF=∠B ∴FA∥BE
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦 ∴∠PAC=∠F
∵∠C=∠C ∴△APC∽△FAC ∴
∴
∵AB=AC
∴
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