Question

如图，点P为斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱BB₁上一点，PM⊥BB₁交AA₁于点M，PN⊥BB₁交CC₁于点N．
（1）求证：CC₁⊥MN；
（2）在任意△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意和三棱柱的性质，证出 CC₁⊥平面PMN，再证 CC₁⊥MN．
（2）利用类比推理边“对应侧面面积”得出结论，证明用到余弦定理平行四边形的面积公式和题中的垂直关系．

解答：（1）证：由题意知，CC₁∥BB₁，PM⊥BB₁，PN⊥BB₁，
∴CC₁⊥PM，CC₁⊥PN，且PM∩PN=P，
∴CC₁⊥平面PMN，MN?平面PMN，
∴CC₁⊥MN；
（2）解：在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有

S

2 ABB1A1

=

S

2 BCC1B1

+

S

2 ACC1A1

-2

S

BCC1B1

•

S

ACC1A1

cosα，
其中α为平面CC₁B₁B与平面CC₁A₁A所组成的二面角．
∵CC₁⊥平面PMN，∴上述的二面角为∠MNP，
在△PMN中，PM²=PN²+MN²-2PN•MNcos∠MNP
∴PM²•Cc₁²=PN²•Cc₁²+MN²•Cc₁²-2（PN•Cc₁）•（MN•Cc₁）cos∠MNP，
∵SBCC1B1=PN•CC₁，SACC1A1=MN•CC₁，SABB1A1=PM•BB₁，
∴

S

2 ABB1A1

=

S

2 BCC1B1

+

S

2 ACC1A1

-2

S

BCC1B1

•

S

ACC1A1

cosα
其中α为平面CC₁B₁B与平面CC₁A₁A所组成的二面角．

点评：本题考查线面垂直关系的相互转化，还考查了类比推理，证明结论时利用余弦定理，加上适当的变形证出结论．