（2009•武汉模拟）已知数列{a_n}满足：a1=a2=a3=k，an+1=

k+anan-1

an-2

(n≥3，n∈N*)其中k＞0，数列{b_n}满足：bn=

an+an+2

an+1

(n=1，2，3，4…)
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）是否存在正数k，使得数列{a_n}的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k．

（2009•武昌区模拟）已知数列{a_n} 满足：a₁=2，a_n+1=2（1+

1

n

）²a_n（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n} 的通项公式；
（2）设b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切n∈N⁺都有a_n=b_n+1-b_n成立？说明你的理由；
（3）求证：a₁+a₂+…+a_n＜（n²-2n+2）•2ⁿ⁺²．

（2009•湖北模拟）已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），令bn=

1

anan+1

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令T_n=b₁+b₂•2+b₃•2²+…b_n•2^n-1，
求证：①对于任意正整数n，都有Tn＜

1

6

．②对于任意的m∈(0，

1

6

)，均存在n₀∈N^*，使得n≥n₀时，T_n＞m．

（2009•上海模拟）已知数列{a_n满足a₁=

2

5

，且对任意n∈N*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

．
（Ⅰ）求证：数列{

1

an

}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）试问数列{a_n}中a_k•a_k+1是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．

（2009•上海模拟）已知数列{a_n}满足a1=

2

5

，且对任意n∈N^*，都有2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1．
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（2）试问数列{a_n}中任意连续两项的乘积a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．