Question

（2009•上海模拟）已知数列{a_n}满足a1=

2

5

，且对任意n∈N^*，都有2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1．
（1）求证：数列{

1

an

}为等差数列；
（2）试问数列{a_n}中任意连续两项的乘积a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用已知条件，通过等差数列的定义，证明数列{

1

an

}为等差数列；
（2）通过（1）求出数列的通项公式，然后化简a_k•a_k+1（k∈N^*），使得为通项公式的形式，即可判断是否是{a_n}中的项，然后求是数列的第几项；

解答：解：（1）由2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，可得

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，（3分）
所以数列{

1

an

}是以

5

2

为首项，公差为

3

2

的等差数列．                     （6分）
（2）由（1）可得数列{

1

an

}的通项公式为

1

an

=

3n+2

2

，所以an=

2

3n+2

．   （8分）ak•ak+1=

2

3k+2

•

2

3(k+1)+2

=

4

9k2+21k+10

=

2

9k2+21k+6 2 +2

=

2

3• 3k2+7k+2 2 +2

．                   （10分）
因为

3k2+7k+2

2

=k2+3k+1+

k(k+1)

2

，（11分）
当k∈N^*时，

k(k+1)

2

一定是正整数，所以

3k2+7k+2

2

是正整数．     （13分）
所以a_k•a_k+1是数列{a_n}中的项，是第

3k2+7k+2

2

项．                 （14分）

点评：本题是中档题，考查等差数列的证明的方法，数列通项公式的应用，考查转化思想、计算能力．