题目内容

（2009•上海模拟）已知数列{an满足a1=
2
5
，且对任意n∈N*，都有
an
an+1
=
4an+2
an+1+2
．
（Ⅰ）求证：数列{
1
an
}为等差数列，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）试问数列{an}中ak•ak+1是否仍是{an}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
分析：（Ⅰ）通过对已知条件的转化，可以得到
1
an+1
-
1
an
=
3
2
，所以数列{
1
an
}是
5
2
为首项，公差
3
2
的等差数列，继而可求an
（Ⅱ）得到an=
2
3n+2
之后，ak•ak+1=
2
3k+2
•
2
3(k+1)+2
=
4
9k2+21k+10
=
2
3 •
3k2+7k+2
2
+2
，再去判断就容易了．
解答：解：（Ⅰ）∵anan+1+2an=4anan+1+2an+1，2an-2an+1=3anan+1，
∴
1
an+1
-
1
an
=
3
2
，
所以数列{
1
an
}是
5
2
为首项，公差
3
2
的等差数列．                     …（4分）
可得数列{
1
an
}的通项公式
1
an
=
3n+2
2
，所an=
2
3n+2
．…（6分）
（Ⅱ）ak•ak+1=
2
3k+2
•
2
3(k+1)+2
=
4
9k2+21k+10
=
2
3•
3k2+7k+2
2
+2
．                        …（8分）
因为
3k2+7k+2
2
=k2+3k+1+
k(k+1)
2
，…（10分）
k是正整数时，
k(k+1)
2
一定是正整数，所以
3 k2+7k+2
2
是正整数．
（也可以从k的奇偶性来分析）
所以ak•ak+1是数{an}中的项，是
3k2+7k+2
2
项．                 …（12分）
点评：本题考查数列的递推关系，解题的关键是对条件合理转化，通过转化后可求an，从而可以判断ak•ak+1是否为数列an中的项．
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a+2
2
，可得：2=
2+2
2
＜a′=
a+2
2
＜
a+a
2
=a≤3，与假设中“a是A中的最小数”矛盾！那么对于问题：“证明数集B={x|x=
n
m
，m，n∈N*，并且n＜m}没有最大数”，也可以用反证法证明．我们可以假设x=
n0
m0
是B中的最大数，则可以找到x'=
n0+1
m0+1
n0+1
m0+1
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6
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3
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π
3
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7
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＞1 
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{x|0＜x≤3}
．
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2
的概率为
2
7
2
7
．
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x4
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