Question

（2009•武汉模拟）已知数列{a_n}满足：a1=a2=a3=k，an+1=

k+anan-1

an-2

(n≥3，n∈N*)其中k＞0，数列{b_n}满足：bn=

an+an+2

an+1

(n=1，2，3，4…)
（1）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）是否存在正数k，使得数列{a_n}的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k．

Answer 1

分析：（1）经过计算可知：a₄=k+1，a₅=k+2，a6=k+4+

2

k

．根据数列{b_n}满足：bn=

an+an+2

an+1

(n=1，2，3，4…)，从而可求求b₁，b₂，b₃，b₄；
（2）由条件可知：a_n+1a_n-2=k+a_na_n-1．类似地有：a_n+2a_n-1=k+a_n+1a_n，两式相减整理得b_n=b_n-2，从而可求数列{b_n}的通项公式；
（3）假设存在正数k，使得数列{a_n}的每一项均为整数则由（2）可知：

a2n+1=2a2n-a2n-1 a2n+2= 2k+1 k a2n+1-a2n

…③
由a1=k∈Z，a6=k+4+

2

k

∈Z可求得k=1，2．只需证明 k=1，2时，满足题意．

解答：解：（1）经过计算可知：a₄=k+1，a₅=k+2，a6=k+4+

2

k

．
求得b1=b3=2，b2=b4=

2k+1

k

．…（4分）
（2）由条件可知：a_n+1a_n-2=k+a_na_n-1．…①
类似地有：a_n+2a_n-1=k+a_n+1a_n．…②
①-②有：

an+an+2

an+1

=

an-2+an

an-1

即：b_n=b_n-2
∴b2n-1=b2n-3=…=b1=

a1+a3

a2

=2
，b2n=b2n-2=…=b2=

a2+a4

a3

=

2k+1

k

所以：bn=

4k+1

2k

+

(-1)n

2k

．…（8分）
（3）假设存在正数k，使得数列{a_n}的每一项均为整数
则由（2）可知：

a2n+1=2a2n-a2n-1 a2n+2= 2k+1 k a2n+1-a2n

…③
由a1=k∈Z，a6=k+4+

2

k

∈Z可知k=1，2．
当k=1时，

2k+1

k

=3为整数，利用a₁，a₂，a₃∈Z，结合③式，反复递推，可知{a_n}的每一项均为整数
当k=2时，③变为

a2n+1=2a2n-a2n-1 a2n+2= 5 2 a2n+1-a2n

…④
我们用数学归纳法证明a_2n-1为偶数，a_2n为整数
n=1时，结论显然成立，假设n=k时结论成立，这时a_2n-1为偶数，a_2n为整数，故a_2n+1=2a_2n-a_2n-1为偶数，a_2n+2为整数，所以n=k+1时，命题成立．
故数列{a_n}是整数列．
综上所述，k的取值集合是{1，2}．…（13分）

点评：本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题．