摘要：如图.E,F为 ABCD对角线BD上的两点.请你填上一个适当的条件 .使四边形AECF为平行四边形.

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如图，E、F分别是菱形ABCD对角线BD所在直线上两点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可）．
（1）连接

；
（2）猜想：

；
（3）证明：

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如图，已知正方形ABCD，将一块等腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合），AE、AF分别与BD交于P、Q两点．
（1）求证：△ABP∽△ACF，且相似比为1：

；
（2）请再在图1中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为1：

的非直角三角形的相似三角形；（直接写出）
（3）如图2，当M点旋转到BC的垂直平分线PQ上时，连接ON，若ON=8，求MQ的长．

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如图，已知点（1，3）在函数y=

（x＞0）的图象上，矩形ABCD 的边BC在x轴上，E是对角线AC、BD的交点，函数y=

（k＞0）的图象又经过A、E两点，请解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）如果点E的横坐标为3，求点C的横坐标；
（3）如果点E的横坐标为m，且∠ABD=45°，求m的值．

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如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点．
（1）现有四个等式：①∠ADE=∠CBF；②∠ABE=∠CDF；③AE=CF；④DE=BF．当点E、F只能满足上述等式中的

时，四边形DEBF

是平行四边形．（只填序号）
（2）请选择（1）中的一个等式作为条件，证明四边形DEBF为平行四边形．

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如图，已知点（1，2）在函数y= $数学公式$ （x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x正半轴上，E是对角线AC、BD的交点，函数y= $数学公式$ （x＞0）的图象又经过A，E两点，点E的纵坐标为m．
（1）求k的值；
（2）求点A的坐标（用m表示）；
（3）是否存在实数m，使四边形ABCD为正方形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

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