Question

如图，已知点（1，3）在函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，矩形ABCD 的边BC在x轴上，E是对角线AC、BD的交点，函数y=

k

x

（k＞0）的图象又经过A、E两点，请解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）如果点E的横坐标为3，求点C的横坐标；
（3）如果点E的横坐标为m，且∠ABD=45°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）将点（1，3）代入反比例函数关系式，可得出k的值；
（2）过点E作EF⊥BC于点F，根据点E的横坐标为3，可得EF=1，OF=3，由矩形的性质可得AB=2EF=2，求出OB，可得出BF、CF，继而得出点C的横坐标．
（3）根据（2）的思路求出BC的长度，由AB=BC建立方程，解出即可得出答案．

解答：解：（1）将点（1，3）代入y=

k

x

（k＞0），可得：3=

k

1

，
解得：k=3．
故k的值为3．

（2）过点E作EF⊥BC于点F，
∵点E的横坐标为3，点E在反比例函数y=

3

x

上，
∴EF=1，OF=3，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=2EF=2，即点A的纵坐标为2，
∴OB=

3

2

，
∴BF=CF=OF-OB=

3

2

，
∴OC=OF+CF=3+

3

2

=

9

2

，
即点C的横坐标为

9

2

．

（3）∵点E的横坐标为m，点E在反比例函数y=

3

x

上，
∴EF=

3

m

，OF=m，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=2EF=

6

m

，即点A的纵坐标为

6

m

，
∴OB=

m

2

，
∴BF=CF=OF-OB=m-

m

2

=

m

2

，
∴BC=m，
又∵∠ABD=45°，
∴AB=AD=BC，即

6

m

=m，
解得：m₁=

6

，m₂=-

6

（舍去）．
故m的值为

6

．

点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特点、待定系数法求反比例函数解析式的知识，综合考察的知识点较多，解答本题关键是数形结合思想及方程思想的综合运用．