如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．

(1)①直接写出点E的坐标：________；②求证：AG＝CH．

(2)如下图，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．

(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．

如图，等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C．

求证：AC＝BC．

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作PE⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．

(1)如图，求证：△ADE∽△AEP；

(2)设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)当BF＝1时，求线段AP的长．

如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝16 cm，动点O由点A沿AD向点D以1 cm/s的速度匀速运动，运动时间t小于8 s．以点O为圆心，OA为半径的圆交AD于点E，过点E作⊙O的切线交BC于点G，过点D在矩形内作⊙O的切线交GE于H，切点为F，连接GF．

(1)点O在运动过程中，点G、F、O能否在同一直线上？若能，求出此时运动时间t的值；若不能，请说明理由；

(2)当点O运动时间为6 s时，求GF的长．