Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝16 cm，动点O由点A沿AD向点D以1 cm/s的速度匀速运动，运动时间t小于8 s．以点O为圆心，OA为半径的圆交AD于点E，过点E作⊙O的切线交BC于点G，过点D在矩形内作⊙O的切线交GE于H，切点为F，连接GF．

(1)点O在运动过程中，点G、F、O能否在同一直线上？若能，求出此时运动时间t的值；若不能，请说明理由；

(2)当点O运动时间为6 s时，求GF的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)若G、F、O三点在同一条直线上，则∠GFD＋∠DFO＝180°， 　　又∵DF为⊙O的切线，∴∠DFO＝90°， 　　GE为⊙O的切线，∴∠GEO＝90°，又∵EO＝OF＝r，∠GOE＝∠EOG， 　　∴△GEO≌△DFO，即DF＝GE＝6cm， 　　又∵DF2＝DO2－OF2，∴36＝(16－t)2－t2，∴t＝， 　　即，当∴t＝s时，G、F、O三点在同一条直线上； 　　(2)连接E、F，若t＝6s，则DO＝16－6＝10 cm， 　　在Rt△DOF中，DF＝8 cm，又∵GE为切线，∴GE⊥AE， 　　在Rt△DEH中，DF＝8 cm，DE＝4 cm， 　　∴HE＝3 cm，又∵AB＝GE＝6 cm，∴GH＝HE＝6cm，又∵HF、HE为切线， 　　∴HF＝HE，∴GH＝HF＝HE＝3 cm，∴△GEF为直角三角形，∠GFE＝90°， 　　方法一：连接FA，∠GEF＋∠FEA＝90°，∴∠EGF＝∠FEA， 　　AE为⊙O直径，∴∠EFA＝90°，∴△GEF∽△EAF，∴EF∶FA＝1∶2， 　　由AE＝12cm，知EF2＋FA2＝AE2，即EF＝，∴GF＝． 　　方法二：AE为⊙O直径，∴∠EFA＝90°，∴G、F、A在同一直线上， 　　∴GF∶EF＝GE∶AE＝1∶2，在Rt△GEF中，可求GF＝．