Question

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作PE⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．

(1)如图，求证：△ADE∽△AEP；

(2)设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

(3)当BF＝1时，求线段AP的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) 　　证明：连接OD，AP切半圆于D，∴∠ODA＝∠PED＝90° 　　又OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED 　　∴∠EDA＝∠PEA，又∵∠A＝∠A 　　∴△ADE≌△AEP 　　(2) 　　 　　(3)由题意可知存在三种情况 　　但当E在C点左侧时BF显然大于4所以不合，舍去． 　　当x＞时AP＞AB(如图) 　　延长DO、BE交于H 　　易证△DHF≌△DJE 　　∴HD＝x，∵∠PBE＝∠PDH＝90° 　　∴△PFB≌△PHD 　　 　　当x＜时P点在B点的右侧 　　延长DO、PE交于点H 　　同理可得△DHE≌△EJD 　　△PBF≌△PDH 　　 　　∴AP＝4－2＝2