Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．

(1)①直接写出点E的坐标：________；②求证：AG＝CH．

(2)如下图，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．

(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标；②推出CE＝AE，BC∥OA，推出∠HCE＝∠EAG，证出△CHE≌△AGE即可； 　　(2)连接DE并延长DE交CB于M，求出DD＝OC＝OA，证△CME≌△ADE，求出CM＝AD＝1，推出四边形CMDO是矩形，求出MD切⊙O于D，设CH＝HF＝x，推出(1－x)2＋()2＝(＋x)2，求出H、G的坐标，设直线GH的解析式是y＝kx＋b，把G、H的坐标代入求出即可； 　　(3)连接BG，证△OCH≌△BAG，求出∠CHO＝∠AGB，证△HOE≌△GBE，求出∠OHE＝∠BGE，得出BG平分∠FGA，推出圆心P必在BG上，过P做PN⊥GA，垂足为N，根据△GPN∽△GBA，得出，设半径为r，代入求出即可． 　　解答：(1)①解：E的坐标是：(1，)， 　　故答案为：(1，)； 　　②证明：∵矩形OABC， 　　∴CE＝AE，BC∥OA， 　　∴∠HCE＝∠EAG， 　　∵在△CHE和△AGE中 　　， 　　∴△CHE≌△AGE， 　　∴AG＝CH． 　　(2)解：连接DE并延长DE交CB于M， 　　∵DD＝OC＝1＝OA， 　　∴D是OA的中点， 　　∵在△CME和△ADE中 　　， 　　∴△CME≌△ADE， 　　∴CM＝AD＝2－1＝1， 　　∵BC∥OA，∠COD＝90°， 　　∴四边形CMDO是矩形， 　　∴MD⊥OD，MD⊥CB， 　　∴MD切⊙O于D， 　　∵得HG切⊙O于F，E(1，)， 　　∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME， 　　在Rt△MHE中，有MH2＋ME2＝HE2 　　即(1－x)2＋()2＝(＋x)2， 　　解得x＝， 　　∴H(，1)，OG＝2－＝， 　　又∵G(，0)， 　　设直线GH的解析式是：y＝kx＋b， 　　把G、H的坐标代入得：0＝b，且1＝k＋b， 　　解得：k＝－，b＝， 　　∴直线GH的函数关系式为y＝－． 　　(3)答：⊙P的半径是． 　　解：连接BG， 　　∵在△OCH和△BAG中 　　， 　　∴△OCH≌△BAG， 　　∴∠CHO＝∠AGB， 　　∵∠HCO＝90°， 　　∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F， 　　∴OH平分∠CHF， 　　∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA， 　　∵△CHE≌△AGE， 　　∴HE＝GE， 　　在△HOE和△GBE中 　　， 　　∴△HOE≌△GBE， 　　∴∠OHE＝∠BGE， 　　∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA， 　　∴∠BGA＝∠BGE， 　　即BG平分∠FGA， 　　∵⊙P与HG、GA、AB都相切， 　　∴圆心P必在BG上， 　　过P做PN⊥GA，垂足为N， 　　∴△GPN∽△GBA， 　　∴， 　　设半径为r，＝， 　　解得：r＝， 　　点评：本题综合考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，一次函数和勾股定理等知识点，本题综合性比较强，难度偏大，但是也是一道比较好的题目．

提示：

切线的判定与性质；一次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．