已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）．
（1）若a=1，求f（x）的单调增区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

已知函数f（x）=x-x^-1，若不等式f（2^x+3+2^a）＜f（4^x+1+2^2a-1）对任意x都成立，则实数a的取值范围是．

（2009•荆州模拟）已知函数f（x）=

x2+1 -1

x

（x＞0），数列{a_n}满足a₁=a＞0，且a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）求函数y=f（x）的反函数；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜2a．
（3）若a=1，求证：a_n＞2^-n．

（2010•揭阳模拟）设函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）．
（1）若a=1，b=-1，求函数f（x）的极值；
（2）若2a+b=-3，试确定f（x）的单调性；
（3）记g(x)=

|f(x)|

ex

，且g（x）在[-1，1]上的最大值为M，证明：M≥

1

2

．