Question

（2009•荆州模拟）已知函数f（x）=

x2+1 -1

x

（x＞0），数列{a_n}满足a₁=a＞0，且a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）求函数y=f（x）的反函数；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜2a．
（3）若a=1，求证：a_n＞2^-n．

Answer 1

分析：（1）令y=

x2+1 -1

x

，得yx+1=

x2+1

，两边平方后可求出x，注意求出反函数的定义域；
（2）由a_n+1=f（a_n），得an=f-1(an+1)，即an=

2an+1

1-an+12

，由a₁=a＞0，可得0＜a_n+1＜1，从而可得an=

2an+1

1-an+12

＞2a_n+1，即

an+1

an

＜

1

2

，据此对S_n=a₁+a₂+…+a_n进行放缩求和可得结论；
（3）由0＜a_n+1＜1，得an=

2an+1

1-an+12

＜

2an+1

1-an+1

，则

1

an

＞

1

2an+1

-

1

2

，即

1

an+1

＜

2

an

+1，由此可得

1

an+1

+1＜2（

1

an

+1），从而推得

1

an

+1≤2^n-1（

1

a1

+1）=2ⁿ，分离出a_n可推得结论；

解答：解：（1）令y=

x2+1 -1

x

，得yx+1=

x2+1

，平方得
y²x²+2yx+=x²，
∵x＞0，∴x=2y+y²x，x=

2y

1-y2

，
∵x＞0，∴y=

x2+1 -1

x

＞0，
又x=

2y

1-y2

，∴0＜y＜1，
所以函数y=f（x）的反函数为f^-1（x）=

2x

1-x2

（0＜x＜1）；
（2）∵a_n+1=f（a_n），∴an=f-1(an+1)，即an=

2an+1

1-an+12

，
由a₁=a＞0，可得0＜a_n+1＜1，
故an=

2an+1

1-an+12

＞2a_n+1，
∴

an+1

an

＜

1

2

，
∴Sn=a1+a2+…+an＜a+

1

2

a+…+

1

2n-1

a
=

a[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2a[1-(

1

2

)n]＜2a；
（3）∵0＜a_n+1＜1，∴an=

2an+1

1-an+12

＜

2an+1

1-an+1

，
∴

1

an

＞

1

2an+1

-

1

2

，即

1

an+1

＜

2

an

+1，
∴

1

an+1

+1＜2（

1

an

+1），
∴

1

an

+1≤2^n-1（

1

a1

+1）=2ⁿ，
∴an≥

1

2n-1

＞

1

2n

=2^-n．

点评：本题考查数列与不等式的综合、数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，难度大．