Question

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）设h(x)=

f(x)

x

，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由a=1，将函数转化为分段函数，进而每一段转化为二次函数，用二次函数法求得每段的单调区间即可．
（2）受（1）的启发，用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于a不具体，要根据对称轴分类讨论．
（3）由“函数h（x）在区间[1，2]上是增函数”要转化为恒成立问题．可用单调性定义，也可用导数法．

解答：解：（1）a=1，f（x）=x²-|x|+1=

x2-x+1，x≥0 x2+x+1，x＜0

=

(x- 1 2 )2+ 3 4 ，x≥0 (x+ 1 2 )2+ 3 4 ，x＜0

（2分）
∴f（x）的单调增区间为（

1

2

，+∞），（-

1

2

，0）；
 f（x）的单调减区间为（-∞，-

1

2

），（0，

1

2

）（4分）
（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1
①若0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

，则f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（1）=3a-2
②若1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

时，g(a)=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1
③若

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

时，f（x）在[1，2]上是减函数：
g（a）=f（2）=6a-3．
综上可得g(a)=

6a-3  0＜a＜ 1 4 2a- 1 4a -1    1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2  a＞ 1 2

（10分）

（3）h(x)=ax+

2a-1

x

-1在区间[1，2]上任取x₁、x₂，
则h(x2)-h(x1)=(ax2+

2a-1

x2

-1)-(ax1+

2a-1

x1

-1)
=(x2-x1)(a-

2a-1

x1x2

)=

x2-x1

x1x2

[ax1x2-(2a-1)]（*）（12分）
∵h（x）在[1，2]上是增函数
∴h（x₂）-h（x₁）＞0
∴（*）可转化为ax₁x₂-（2a-1）＞0对任意x₁、x₂∈[1，2]
且x₁＜x₂都成立，即ax₁x₂＞2a-1
①当a=0时，上式显然成立
②a＞0，x1x2＞

2a-1

a

，由1＜x₁x₂＜4得

2a-1

a

≤1，解得0＜a≤1
③a＜0，x1x2＜

2a-1

a

2a-1

a

≥4，得-

1

2

≤a＜0
所以实数a的取值范围是[-

1

2

，1]（16分）

点评：本题主要考查分段函数，考查求其单调区间，方法是一段一段地求出即可，考查求其最值，方法是每一段求出其最值，各段中最大的为最大值，最小的为最小值，考查其单调性的应用，这类问题要转化为恒成立问题，实质还是研究最值，这里就会涉及到构造新函数的问题．