Question

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）．
（1）若a=1，求f（x）的单调增区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）通过a=1，化简函数的表达式为分段函数，化简为顶点式的二次函数，即可求f（x）的单调增区间；
（2）利用x的范围，化简函数，利用而成的开口方向，讨论a的范围下，利用函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）利用a＞0，以及函数的定义域，化简f（x）为顶点式，然后求解在区间[1，2]的最小值为g（a），即可得到g（a）的表达式．

解答：解：（1）a=1时，f(x)=x2-|x|+1=

x2-x+1，x≥0 x2+x+1，x＜0

=

(x- 1 2 )2+ 3 4 ，x≥0 (x+ 1 2 )2+ 3 4 ，x＜0

…（2分）
∴f（x）的单调增区间为（

1

2

，+∞），（-

1

2

，0）．…（4分）
（2）x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1
当a＞0时，

1

2a

≤1，即：a≥

1

2

．；…（6分）
当a=0时，f（x）=-x-1，不满足条件；…（7分）
当a＜0时，

1

2a

≥2．不等式不成立．…（8分）
∴a的取值范围为：a≥

1

2

．…（9分）
（3）由于a＞0，当x∈[1，2]时，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1
1⁰  0＜

1

2a

＜1即a＞

1

2

f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（1）=3a-2…（11分）
2⁰  1≤

1

2a

≤2即

1

4

≤a≤

1

2

时，g(a)=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1…（13分）
3⁰  

1

2a

＞2即0＜a＜

1

4

时  f（x）在[1，2]上是减函数g（a）=f（2）=6a-3…（15分）
综上可得  g(a)=

6a-3，0＜a＜ 1 4 2a- 1 4a -1， 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，a＞ 1 2

…（16分）

点评：本题考查二次函数的化简，绝对值的函数的应用，分段函数指正的求法，考查转化思想以及计算能力．