5.(2010重庆文)(20)(本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分. )

如题(20)图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点.

(Ⅰ)证明：平面；

(Ⅱ)若，求二面角的平面角的余弦值.

4.(2010江西理)20. (本小题满分12分)

如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，。

(1)　　　 求点A到平面MBC的距离；

(2)　　　 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。

[解析]本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力

解法一：(1)取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，

OM⊥CD.又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角.OB=MO=，MO∥AB，MO//面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，作OHBC于H，连MH，则MHBC，求得：

OH=OCsin60⁰=,MH=,利用体积相等得：。

(2)CE是平面与平面的交线.

由(1)知，O是BE的中点，则BCED是菱形.

作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.

因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.

，

，

所以，所求二面角的正弦值是.

[点评]传统方法在处理时要注意到辅助线的处理，一般采用射影、垂线、平行线等特殊位置的元素解决

解法二：取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,则MO⊥平面.

以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图.

OB=OM=，则各点坐标分别为O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，-，0)，A(0，-，2)，

(1)设是平面MBC的法向量，则，

，由得；由得；取，则距离

(2)，.

设平面ACM的法向量为，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量为，则

设所求二面角为，则.

[点评]向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见，此类方法的要点在于建立恰当的坐标系，便于计算，位置关系明确，以计算代替分析，起到简化的作用，但计算必须慎之又慎

3.(2010全国卷2文)(19)(本小题满分12分)

　 如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB

　 (Ⅰ)证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；

　 (Ⅱ)设异面直线AB与CD的夹角为45°,求二面角A-AC-B的大小

[解析]本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基础知识。

(1)要证明DE为AB1与CD的公垂线，即证明DE与它们都垂直，由AE=3EB1，有DE与BA1平行，由A1ABB1为正方形，可证得，证明CD与DE垂直，取AB中点F。连结DF、FC，证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。

(2)由条件将异面直线AB1，CD所成角找出即为FDC，设出AB连长，求出所有能求出的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。

2.(2010辽宁理)(19)(本小题满分12分)

已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.

(Ⅰ)证明：CM⊥SN；

(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.

证明：

设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0,)，N(,0,0)，S(1,,0).……4分

(Ⅰ),

因为，

所以CM⊥SN　　　　　　　　　　　 ……6分

(Ⅱ),

设a=(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，

则　　　　 ……9分

因为

所以SN与片面CMN所成角为45°。　　　　　　　　　　　　　 ……12分

1.(2010辽宁文)(19)(本小题满分12分)

　　 如图，棱柱的侧面是菱形，

(Ⅰ)证明：平面平面；

(Ⅱ)设是上的点，且平面，求的值.

　　　 解：(Ⅰ)因为侧面BCC₁B₁是菱形，所以

　　 又已知

　　 所又平面A₁BC₁，又平面AB₁C ，

　　 所以平面平面A₁BC₁ .

　 (Ⅱ)设BC₁交B₁C于点E，连结DE，

　　 则DE是平面A₁BC₁与平面B₁CD的交线，

　　 因为A₁B//平面B₁CD，所以A₁B//DE.

　　 又E是BC₁的中点，所以D为A₁C₁的中点.

　　 即A₁D：DC₁=1.

12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于　　　　　 ．

[答案]

[解析]由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为

，侧面积为，所以其表面积为。

[命题意图]本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。

8.(2010福建理数)

7.(2010湖北理数)13.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是　　　　　　 cm。

[答案]4

[解析]设球半径为r，则由可得,解得r=4.

6.(2010湖南理数)13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则　　　 ．

5.(2010湖北文数)14.圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的珠(球的半么与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是____cm.

[答案]4

[解析]设球半径为r，则由可得,解得r=4.