如图，直线MN经过线段AC的端点A，点B、D分别在∠NAC和∠MAC的角平分线AE、AF上，BD交AC于点O，如果O是BD的中点，试找出当点O在AC的什么位置时，四边形ABCD是矩形，并说明理由．

如图，直线MN经过线段AC的端点A，点B、D分别在∠NAC和∠MAC的角平分线AE、AF上，BD交AC于点O，如果O是BD的中点，试找出当点O在AC的什么位置时，四边形ABCD是矩形，并说明理由。

如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC=2，E，F分别为AC，AB的中点，连接EF．现将一把直角尺放在给出的图形上，使直角顶点P在线段EF（包括端点）上滑动，直角的一边始终经过点C，另一边与BF相交于G，连接AP．
（1）求证：PC=PA=PG；
（2）设EP=x，四边形BCPG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，现有三个数

1

2

，

9

8

，

7

4

试通过计算说明哪几个数符合y值的要求，并求出符合y值时的x的值；
（3）当直角顶点P滑动到点F时，再将直角尺绕点F顺时针旋转，两直角边分别交AC，BC于点M，N，连接MN．当旋转到使MN=

10

7

时，求△APM的周长．