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(2005 福建厦门)已知：
与
相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交
与
于点C、D．
(1)如图所示，求证：AC是
的直径．
(2)若AC=AD，
①如图所示，连接
，求证：四边形是平行四边形；
②若点
在
外，延长
交
于点M，在劣弧
上任取一点E(点E与点B不重合)．EB的延长线交优弧
于点F，如图所示．连接AE、AF．则AE________AB(请在横线上填“≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个＝并加以证明．
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连结BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
(2)问题解决：
受到(1)的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连结EF．
①求证：BE＋CF＞EF
②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
(3)问题拓展：
如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连结EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．
如图，已知：⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D．
(1)如图(1)，求证：AC是⊙O1的直径．
(2)若AC＝AD．
①如图(2)，连结BO2、O1O2，求证：四边形O1CBO2是平行四边形；
②若点O2在⊙O1外，延长O2O1交⊙O1于点M，在劣弧
上任取一点E(点E与点B不重合)．EB的延长线交优弧
于点F，如图(3)所示．连结AE、AF．则AE________AB(请在横线上填上“≥”“≤”“＜”“＞”这四个不等号中的一个)，并加以证明．
如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k?AE，AC＝k?AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．
⑴探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．
说明：如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面①②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取①比选原题少得2分，选取②比选原题少得5分．
① 如图18，k＝1；②如图19，AB＝AC．
⑵若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中⑴的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB与∠BAE的关系．
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