Question

如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k?AE，AC＝k?AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．

⑴探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．

说明：如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面①②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取①比选原题少得2分，选取②比选原题少得5分．

①     如图18，k＝1；②如图19，AB＝AC．

⑵若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中⑴的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB与∠BAE的关系．

 

Answer 1

（1）∠ANB+∠BAE=180º． ………………………………………………………1分

证明：（法一）如图1，延长AN到F，使MF=AM，连接DF、EF. ………………2分

∵点M是DE 的中点，∴DM=ME，

∴四边形ADFE是平行四边形 ，……………………………………………………3分

∴AD∥EF，AD=EF，

∴∠DAE+∠AEF =180º，

∵∠BAC+∠DAE=180º，

∴∠BAC=∠AEF ， …………………………………………………………………4分

∵AB=kAE，AC=kAD，

∴，

∴………………………………………6分

∴△ABC∽△EAF

∴∠B=∠EAF   …………………………………8分

∵∠ANB+∠B+∠BAF =180º

∴∠ANB+∠EAF+∠BAF =180º

即∠ANB+∠BAE=180º，………………………………………………………10分

（法二）如图2，延长DA到F，使AF=AD，连接EF.……………………2分

∵∠BAC+∠DAE=180º，∠DAE +∠EAF =180º，

∴∠BAC=∠EAF，………………………………………………………………3分

∵AB=kAE，AC=kAD，

∴，

∴， ………………………………………4分

∴△ABC∽△AEF， …………………………………5分

∴∠B=∠AEF，………………………………………6分

∵点M是DE 的中点，∴DM=ME，

又∵AF=AD，

∴AM是△DEF的中位线，

∴AM∥EF，…………………………………………7分

∴∠NAE=∠AEF，

∴∠B=∠NAE， ……………………………………8分

∵∠ANB+∠B+∠BAN=180º，

∴∠ANB+∠NAE+∠BAN =180º，

即∠ANB+∠BAE=180º． …………………………10分

(2)变化．如图3（仅供参考），∠ANB=∠BAE．（图和结论各1分）………………12分

选取（），如图4.

证明：延长AM到F，使MF=AM，连接DF、EF.

   ……………………………………………………2分

∵点M是DE的中点，∴DM=ME

∴四边形ADFE是平行四边形， …………………4分

∴AD∥FE，AD=EF，

∴∠DAE+∠AEF =180º，

∵∠BAC+∠DAE=180º，

∴∠BAC=∠DAE，  ………………………………6分

∵AB=kAE，AC=kAD，，

∴AB=AE ，AC=AD，

∴AC=EF，………………………………………………………………………………7分

∴△ABC≌△EAF，

∴∠B=∠EAF，  ……………………………………………………………………8分

∵∠ANB+∠B+∠BAF=180º，

∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180º，

即∠ANB+∠BAE=180º． ……………………………………………………………10分

选取（），如图5.

证明：∵AB=AC，

∴∠B=（180º-∠BAC），…………………………………………………………3分

∵∠BAC+∠DAE=180º，

∴∠DAE=180º-∠BAC，

∴∠B=∠DAE，

∵AB=kAE，AC=kAD，

∴AE=AD，

∵AM是△ADE的中线，AB=AC，

∴∠EAM=∠DAE，

∴∠B=∠EAM，……………………………………………………………………4分

∵∠ANB+∠B+∠BAM=180º，

∴∠ANB+∠EAM +∠BAM=180º，

即∠ANB+∠BAE=180º．…………………………………………………………5分