题目内容
(2005 福建厦门)已知：
与
相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交
与
于点C、D．
(1)如图所示，求证：AC是
的直径．
(2)若AC=AD，
①如图所示，连接
，求证：四边形是平行四边形；
②若点
在
外，延长
交
于点M，在劣弧
上任取一点E(点E与点B不重合)．EB的延长线交优弧
于点F，如图所示．连接AE、AF．则AE________AB(请在横线上填“≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个＝并加以证明．
答案：略
解析：
解析：
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解 (1)证明 ∵CD⊥AB ∴∠ABC=90°，∴AC是 的直径．
(2) ①证明1 ∵CD⊥AB，∴∠ABD=90°．∴ AD是 的直径．∵AC=AD，CD⊥AB，∴CB=BD．∵ 分别是AC、AD的中点∴ 且 ，
∴四边形  是平行四边形．
证明 2 ∵CD⊥AB，∴∠ABD=90°，∴ AD是 的直径．∵AC=AD，CD⊥AB，∴CB=BD．
∵ B、 分别是CD、AD的中点，∴ 且 ，
∴四边形  是平行四边形．
证明 3 ∵CD⊥AB，∴∠ABD=90°，∴ AD是 的直径．∵ 分别是AC、AD的中点，∴ ．∵CD⊥AB，∴CB=BD．
∴ B是CD的中点．∴ ．
∴四边形  是平行四边形．
证明 4 ∵CD⊥AB，∴∠ABD=90°，∴ AD是 的直径．∵AC=AD，
∴  ∴∠C=∠D．∵ ，∴ ．
∴  ∴ ．
∴四边形  是平行四边形．
② AE＞AB．证明 1 当点E在劣弧 上(不与点C重合)时，
∵ AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ AEB=∠ACD=∠ADC=∠AFB，∴ AE=AF，记AF交BD为G(图a)．
a) ∵ AB⊥CD，∴AF＞AG＞AB．当点 E与点C重合时，AE=AC＞AB．当点 E在劣弧 上(不与点B重合)时，设AE交CD于H，AE＞AH＞AB．综上，AE＞AB．
证明 2 当点E在劣弧 上(不与点C重合)时，连接EC、DF(图b)．∵AD是 的直径，即∠AFD=90°，∠EAC=∠EBC=∠DBF=∠DAF，∵AC=AD．
b) 直角△ AFD≌直角△AEC，∴AE=AF．后与证明1同。 证明3 当点E在劣弧 ∵∠DBF=∠DAF，∴∠ADF＋∠DBF=90°． 又∵∠DBF=∠EBC，∠ABE＋∠EBC=90°． ∴∠ADF=∠ABE，∵∠ABE=∠ACE． ∴∠ADF=∠ACE，∵AC=AD． ∴直角△AFD≌直角△AEC，∴AE=AF． 后与证明1同。 |
上(不与点C重合)时，连接EC、DF(图b)，∵AD是
的直径，即∠AFD=90°．
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