摘要：20．(2010·唐山市高三摸底考试)如图.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AB＝1.AA1＝2.N是A1D的中点.M∈BB1.异面直线MN与A1A所成的角为90°. (1)求证:点M是BB1的中点, (2)求直线MN与平面ADD1A1所成角的大小, (3)求二面角A-MN-A1的大小． 解析:(1)取AA1的中点P.连结PM.PN. ∵N是A1D的中点.∴AA1⊥PN.又∵AA1⊥MN.MN∩PN＝N. ∴AA1⊥面PMN. ∵PM⊂面PMN.∴AA1⊥PM.∴PM∥AB. ∴点M是BB1的中点． 知∠PNM即为MN与平面ADD1A1所成的角． 在Rt△PMN中.易知PM＝1.PN＝. ∴tan∠PNM＝＝2.∠PNM＝arctan2. 故MN与平面ADD1A1所成的角为arctan2. (3)∵N是A1D的中点.M是BB1的中点.∴A1N＝AN.A1M＝AM. 又MN为公共边.∴△A1MN≌△AMN. 在△AMN中.作AG⊥MN交MN于G.连结A1G.则∠A1GA即为二面角A-MN-A1的平面角． 在△A1GA中.AA1＝2.A1G＝GA＝. ∴cos∠A1GA＝＝-.∴∠A1GA＝arccos(-). 故二面角A-MN-A1的大小为arccos(-)．

网址：http://m.1010jiajiao.com/timu3_id_574536[举报]