Question

21、如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DD₁的中点．
（1）求证：BD₁∥平面ACE；
（2）求证：平面ACE⊥平面B₁BDD₁．

Answer 1

分析：（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得EO∥BD₁，从而证明直线BD₁∥平面ACE．
（2）证明AC⊥BD，DD₁⊥AC，可证AC⊥面BDD₁B₁，进而证得平面ACE⊥平面BDD₁B₁ ．

解答：证明：（1）设AC和BD交于点O，连EO，
因为E，O分别是DD₁，BD的中点，
所以EO∥BD₁，
因为EO?平面PAC，BD?平面PAC，
所以直线BD₁∥平面ACE．
（2）由题意可得：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD，
所以底面ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．
又因为DD₁⊥面ABCD，
所以DD₁⊥AC．
∵BD?平面BDD₁B₁，D₁D?平面BDD₁B₁，BD∩D₁D=D，
∴AC⊥面BDD₁B₁．
∵AC?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面BDD₁B₁ ．

点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点．