Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长AA₁=2，AB=1，E是AA₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面BDE；
（Ⅱ）求点A到平面BDE的距离．

Answer 1

分析：（1）连接AC，交BD于O，连接OE，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，证明OE是△AA₁C的中位线，然后根据直线与平面平行的判断定理进行证明；
（2）过点A作AH⊥OE，垂足为H，可得A₁A⊥BD，然后再证BD⊥平面A₁AC，推出AH⊥平面BDE，在Rt△OAE中，进行求解．

解答：解：（Ⅰ）证明：连接AC，交BD于O，连接OE（1分）
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形
∴点O是AC的中点（2分）
又E是AA₁的中点
∴OE是△AA₁C的中位线
∴OE∥A₁C（4分）
∵OE?平面BDE，A₁C?平面BDE，
∴A₁C∥平面BDE（6分）

（Ⅱ）解：过点A作AH⊥OE，垂足为H（7分）
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC，A₁A⊥平面ABCD（8分）
∴A₁A⊥BD（9分）
又∵A₁A∩AC=A
∴BD⊥平面A₁AC
∴BD⊥AH（10分）
又AH⊥OE，BD∩OE=E
∴AH⊥平面BDE（11分）
在Rt△OAE中，AE=

1

2

A1A=1，OA=

2

2

AB=

2

2

，
OE=

AE2+OA2

=

6

2

AH=

AE•OA

OE

=

3

3

．
即点A到平面BDE的距离是

3

3

（13分）

点评：此题考查直线与平面平行的性质及平面与平面平行的性质及其应用，此题计算量比较大，计算时要仔细，此题是道好题，也是高考常考的题型．