Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=

1

2

AA1，点E在棱CC₁上．
（1）若B₁E⊥BC₁，求证：AC₁⊥平面B₁D₁E．
（2）设

CE

EC1

=λ，问是否存在实数λ，使得平面AD₁E⊥平面B₁D₁E，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由图形及题设条件知可证A₁C₁⊥B₁D₁，B₁E⊥AC₁，从而得出AC₁⊥平面B₁D₁E．
（2）建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，若两平面垂直则法向量内积为0，利用此方程求参数，若能求出则存在，否则不存在，解答本题时注意答题格式．

解答：（1）证明：连接A₁C₁，因为棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，所以A₁C₁⊥B₁D₁，
又A₁C₁是AC₁在底面A₁B₁C₁D₁内的射影，因此B₁D₁⊥AC₁，（2分）
同理，BC₁是AC₁在平面BCC₁B₁内的射影，
因为B₁E⊥BC₁，所以B₁E⊥AC₁，
又B₁D₁∩B₁E=B₁，所以AC₁⊥平面B₁D₁E（3分）

（2）解：存在实数λ，使得平面AD₁E⊥平面B₁D₁E，证明如下：
因为

CE

EC1

=λ，所以EC1=

CC1

1+λ

，因为AB=BC=

1

2

AA1，
不妨设AB=1，则AA₁=2，以D₁为坐标原点，分别以D₁A₁，D₁C₁，D₁D为x，y，z轴建立坐标系，
则

D1B1

=(1，1，0)，

D1A

=(1，0，2)，

D1E

=(0，1，

2

1+λ

)，（2分）
设平面AD₁E的一个法向量为n₁，由

n1• D1A =0 n1• D1E =0

得一个n1=(2，

2

1+λ

，-1)，
同理得平面D₁B₁E的一个法向量n2=(1，-1，

1+λ

2

)，（3分）
令n₁•n₂=0，即2×1+

2

1+λ

×(-1)+(-1)×

1+λ

2

=0，
解得λ=1，
所以存在实数λ=1，使得平面AD₁E⊥平面B₁D₁E（2分）

点评：考查线面垂直的证明以及利用面面垂直建立相应的方程求参数，其中由位置关系建立方程求参数的题型类似于代数的选定系数法，先引入参数，建立相应等量关系，再解方程求出根，以确定相应的位置关系是否存在．