摘要：18．如图.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.AA1＝2AB＝4.点E在C1C上且C1E＝3EC. (1)证明A1C⊥平面BED, (2)求二面角A1-DE-B的大小． 解析:依题设知AB＝2.CE＝1. (1)证明:连结AC交BD于点F.则BD⊥AC. 由三垂线定理知.BD⊥A1C. 在平面A1CA内.连结EF交A1C于点G. 由于＝＝2. 故Rt△A1AC∽Rt△FCE.∠AA1C＝∠CFE.∠CFE与∠FCA1互余． 于是A1C⊥EF. A1C与平面BED内两条相交直线BD.EF都垂直． 所以A1C⊥平面BED. (2)作GH⊥DE.垂足为H.连结A1H. 由三垂线定理知A1H⊥DE. 故∠A1HG是二面角A1-DE-B的平面角． EF＝＝. CG＝＝ . EG＝＝. ＝.GH＝×＝ . 又A1C＝＝2.A1G＝A1C-CG＝. tan∠A1HG＝＝5. 所以二面角A1-DE-B的大小为arctan5.
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（本小题满分12分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
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（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，A1D⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2。
（I）求证：C1D//平面ABB1A1；
（II）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D—A1C1—A的余弦值。
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（本小题满分12分）
如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，E为棱AA1上一点，且
平面BDE。
（I）求直线BD1与平面BDE所成角的正弦值；
（II）求二面角C—BE—D的余弦值。
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平面BED
平面BED