摘要：正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB.在AE.BD上各有一点P.Q.且AP=DQ. 求证:PQ∥平面BCE. 证明 方法一 如图所示.作PM∥AB交BE于M.作QN∥AB交BC于N.连接MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB.∴AE=BD. 又∵AP=DQ.∴PE=QB. 又∵PM∥AB∥QN. ∴...∴PM QN. ∴四边形PMNQ为平行四边形.∴PQ∥MN. 又MN平面BCE.PQ平面BCE. ∴PQ∥平面BCE. 方法二 如图所示.连接AQ.并延长交BC于K.连接EK. ∵AE=BD.AP=DQ.∴PE=BQ. ∴= ① 又∵AD∥BK.∴= ② 由①②得=.∴PQ∥EK. 又PQ平面BCE.EK平面BCE.∴PQ∥平面BCE. 方法三 如图所示.在平面ABEF内.过点P作PM∥BE.交AB于点M.连接QM. ∵PM∥BE.PM平面BCE. 即PM∥平面BCE. ∴= ① 又∵AP=DQ.∴PE=BQ. ∴= ② 由①②得=.∴MQ∥AD. ∴MQ∥BC.又∵MQ平面BCE.∴MQ∥平面BCE. 又∵PM∩MQ=M.∴平面PMQ∥平面BCE. PQ平面PMQ.∴PQ∥平面BCE.

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